Показникові рівняння

Опорні факти

Будь-яка зростаюча (спадна) функція на проміжку набуває кожного свого значення лише в одній точці з цього проміжку.

При показникова функція зростає.

При показникова функція спадає.

При показникова функція стала.

Для розвязування показникових рівнянь потрібно добре знати властивості коренів та степенів.

Приклади розвязування найпростіших показникових рівнянь

  1. Розвязування:

    Відповідь:

  2. Розвязування:

    Відповідь:

  3. Розвязування:

    Коренів немає (оскільки )

    Відповідь: коренів немає

  4. Розвязування:

    Відповідь:

Приклади розвязування показникових рівнянь, зведенням до найпростіших

______________________________________________________________________

Якщо в лівій і правій частинах показникового рівняння стоять тільки добутки, частки, корені ао степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати записати обидві частини рівняння як степені з однією основою.

______________________________________________________________________

Приклад 1:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Відповідь: .

______________________________________________________________________

Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть число, а в іншій усі члени містять вираз виду (показники степенів відрізняються тільки вільними членами), то зручно в цій частині рівняння винести за дужки найменший степінь .

______________________________________________________________________

Приклад 2:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Відповідь: .

Приклади розвязування більш складніших показникових рівнянь

______________________________________________________________________

Позбавляємось числових доданків у показниках степенів (використовуючи справа наліво основні властивості степенів).

Якщо можливо, зводимо всі степені до однієї основи і виконуємо заміну змінних.

______________________________________________________________________

Приклад 3:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Ураховуючи, що , зводимо степені до однієї основи 2:

Заміна дає рівняння:

Обернена заміна дає рівняння , звідки або - коренів немає.

Відповідь:

______________________________________________________________________

Якщо не можна звести степені до однієї основи, то пробуємо звести всі степені до двох основ так, щоб одержати однорідне рівняння.

______________________________________________________________________

Приклад 4:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Зведемо всі степені до двох основ 2 і 3:

Маємо однорідне рівняння. Для його розвязування поділимо обидві частини на ;

Заміна дає рівняння:

Обернена заміна дає рівняння , звідки або - коренів немає.

Відповідь:

______________________________________________________________________

В інших випадках переносимо всі члени рівняння в одну частину і пробуємо розкласти одержаний вираз на множники або застосовуємо спеціальні прийоми розвязування, у яких використовуємо властивості відповідній функцій.

______________________________________________________________________

Приклад 5:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Якщо попарно згрупувати члени в лівій частині рівняння і в кожній парі винести за дужки спільний множник, то одержимо :

Виносимо за дужки спільний множник :

Тоді або .

Одержуємо два рівняння 1), звідки або 2) , звідки .

Відповідь:

Розділ:
Версії іншими мовами:
Поділитися з друзями:
Залишити коментар: