Ірраціональні нерівності

Поняття ірраціональної нерівності

Означення: Ірраціональна нерівність — нерівність, що містить змінну під знаком кореня -го степеня.

Розвязування ірраціональних рівнянь

Метод інтервалів для розвязування ірраціональних нерівностей

  1. Знайти ОДЗ нерівності.
  2. Знайти нулі функції
  3. Відмінити нулі функції на ОДЗ і знайти знак функції на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ .

Приклад 1:

Розвяжіть рівняння:

Розвязання: Задана нерівність рівносильна нерівності

Позначимо

ОДЗ: , тобто

Нулі: підносимо до квадрату ліву і праву частину

- корінь, - сторонній корінь.

Відповідь:

Рівносильні перетворення

  1. При піднесенні обох частин нерівності до непарного степеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо нерівність, рівносильну даній.
  2. Приклад 2:

    Розвяжіть рівняння:

    Розвязання: ОДЗ:

    Задана нерівність рівносильна нерівностям:

    Відповідь:

  3. Якщо обидві частини нерівності невідємні, то при піднесенні обох частин нерівності до парного степеня (із збереженням знаком нерівності) одержуємо нерівність, рівносильну даній.
  4. Приклад 3 :

    Розвяжіть рівняння:

    Розвязання: ОДЗ:

    Обидві частини заданої нерівності невідємні, отже, вона рівносильна нерівностям:

    Ураховуючи ОДЗ, одержуємо .

    Відповідь:

  5. Якщо на ОДЗ заданої нерівності якась частина нерівності може набувати як додатних, так і невідємних значень, то, перш ніж підносити обидві частини нерівності до парного степеня, ці випадки слід роглянути окремо.
  6. Приклад 4 :

    Розвяжіть рівняння:

    Розвязання: Задана нерівність рівносильна сукупності систем:

    або

    Тоді або

    Розвязавши нерівність маємо

    Ураховуючи нерівність , одержуємо розвязок першої системи . Розвязок другої системи: Обєднуючи ці розвязки, одержуємо відповідь.

    Відповідь:

Розділ:
Версії іншими мовами:
Поділитися з друзями:
Залишити коментар: