Послідовності чисел, метод математичної індукції

Означення: Послідовність —змінна величина, що залежить від натурального числа (тобто функція натурального аргументу).

— члени (елементи) послідовності

Якщо елементи — дійсні числа, то послідовність називається числовою

Приклади

  • — послідовність парних натуральних чисел
  • — послідовність цілих відємних чисел
  • — послідовність чисел, обернених до натуральних
  • — числова послідовність

Зростаючі та спадні послідовності

Означення: Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього: (перша послідовність у прикладах).

Означення: Послідовність називається спадною, якщо (друга і третя послідовності у прикладах).

Метод математичної індукції

Вкористовується для доведення тверджень про числові послідовності або про вирази, що залежать від натурального числа, у формулювання яких явно чи неявно присутні слова "для будь-якого натурального "

Схема доведення тверджень за допомогою методу математичної індукції

  1. Перевіряємо, чи виконується дане твердження при (іноді починають з )
  2. Припускаємо, що задане твердження справедливе при (другий варіант — при )
  3. Доводимо (спираючись на припущення) справедливість нашого твердження і при
  4. Робимо висновок, що дане твердження справедливе для будь-якого натурального числа (для будь-якого )

Приклад.

Довести:

Розвязання. Для зручності запису позначимо

  1. При рівність виконується
  2. Припускаємо, що задана рівність правильна при , тобто
  3. Доведемо, що рівність виконується і при , тобто доведемо, що

    Враховуючи, що , одержуємо
  4. Отже, задана рівність правильна для будь-якого натурального
Розділ:
Версії іншими мовами:
Поділитися з друзями:
Залишити коментар: