Системы уравнений, решению систем линейных уравнений

Понятие системы и ее розвязків

Определение: Если ставится задача найти все общие развязки двух (или более) уравнений с одной или несколькими переменными, то говорят, что надо розвязати систему уравнений.

Определение: Розвязком системы — такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений зміниих, что удовлетворяет сразу всем уравнениям системы, то есть розвязком системы двух или более уравнений с неизвестными называется такое упорядоченное множество множество чисел, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения превращаются в верные числовые равенства.

Определение: Розвязати систему уравнений — найти все ее развязки или доказать, что их нет.

Если система не имеет решения, то она несовместима.

Примеры систем

— система двух уравнений с двумя переменными

Пара то есть —решение системы

— система трех уравнений с тремя переменными

Тройка то есть — один из розвязків системы

Схема решению систем уравнений

Графический метод

1. Выполняем равносильные преобразования, так, чтобы было удобно построить график функции. Например:
2. Строим графики.
3. Находим точки пересечения графиков. Координаты этих точек и есть розвязком данной системы уравнений.

Метод подстановки

1. Из одного уравнения системы выражаем одну переменную через другую, всегда выбираем удобную переменную. Например, из уравнения выражаем переменную а не наоборот.
2. Найденное значение подставляем в другое уравнение системы и получаем уравнение с одной переменной.
3. Розвязуємо полученное уравнение
4. Найденное значение подставляем в выраженное уравнение, и находим значение второй переменной.

Метод сложения

1. Урівнюємо коэффициенты при одной из переменных путем по членного умножения обоих уравнений на множители, подобранные соответствующим образом.
2. Добавляем (или отнимаем) почленно два уравнения системы, тем самым исключается одна переменная.
3. Розвязуємо полученное уравнение.
4. Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений.

Примеры решению систем уравнений

Решению графическим методом

Пример 1

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Строим графики

Построив графики увидим, что графики пересекаются в точке

Ответ:

Решению методом подстановки

Пример 2

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Из первого уравнения выражаем А полученное выражение подставляем во второе уравнение системы:

Полученное значение подставляем в выражение

Ответ:

Решению методом добавления

Пример 3

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Должны избавиться от переменной Умножаем почленно первое уравнение системы на 3, а второе – на 2.

Добавляем почленно уравнение и получаем:

Находим значение из первого уравнения системы:

Ответ:

Замечание: В методе добавления можно умножать не только на положительные числа, а и на отрицательные.

Каким способом розвязувати систему уравнений решать только Вам.