Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке

Определение: Функция называется непрерывной в точке , если при , то есть .

Непрерывность функции на промежутке

Определение: Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка , то ее называют непрерывной на промежутке .

Свойства непрерывности функции

1. Если непрерывная на відрузку видуальные приобретает на концах этого отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.

Пример непрерывности функции

— непрерывная функция (многочлен)

, поэтому на интервале (0;1) существует точка , в которой функция равна 0:

2. Если на интервале функция непрерывна и не превращается в ноль, то на этом интервале функция сохраняет постоянный знак.

Пример непрерывности функции

Метод интервалов

3. Функция , непрерывная на отрезке , принимает всех промежуточных значений между значениями этой функции в крайних точках, то есть между и .

Пример непрерывности функции

— непрерывная функция. Если

, то . Поскольку , то существует точка , в которой .



4. Функция , непрерывная на отрезке , ограничена на этом отрезке, то есть существуют два числа и , что для всех выполняется неравенство .

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значенб функции.

5. Сумма разности и произведение непрерывных на данном интервале функций — непрерывная на том же самом интервале функция. Частное двух непрерывных функций — непрерывная функция во всех точках, в которых знаменатель не перетвоюється на ноль.
6. Функция, обратная к непрерывной функции на заданном интервале, является непрерывной на этом интервале.
7. Если функция имеет производную в точке , то она является непрерывной в этой точке.

Точки разрыва

Определение: Точка точка разрыва функции , если в точке не выполняется условие, что при .

Примеры функций, содержащих точки разрыва

— точки разрыва все целочисленные точки

— точка разрыва - 0

— точка разрыва - 0