Aplicación de la derivada al estudio de las funciones de

La monotonía y la constancia de las funciones

Es una condición suficiente ascendente de la función

Si en cada punto del intervalo , la función crece en el intervalo

 

 

Es una condición suficiente decreciente de la función de

Si en cada punto del intervalo , la función decrece en el intervalo

 

 

Nota. Estas condiciones son sólo suficientes, pero no son esenciales para el crecimiento y el descendente de la función

Necesaria y suficiente de la condición de la permanencia de la función

La función es continua en el intervalo entonces, y sólo entonces, cuando en todos los puntos del intervalo completo

 

 

Extremos (máximos y mínimos) de una función

El punto máximo de

Definición: Punto de la esfera de la definición de la función se llama el punto máximo de esta función, si la hay - la vecindad de un punto , que para todos los de este barrio se cumple la desigualdad

 

 

— el punto máximo de

— un máximo de

El punto mínimo

Definición: Punto de la esfera de la definición de la función se llama el punto mínimo de la función, si hay - la vecindad de un punto , que para todos los de este barrio se cumple la desigualdad

 

 

— el punto mínimo

— un mínimo de

Los puntos críticos de la

Definición: Internos de los puntos materia de la definición de la función, en los que la derivada de una función es igual a cero o no existe, se llaman críticos

Una condición necesaria de extremo

— el punto del extremo o no existe

(pero no en cada punto , donde o no existe, lo extremo!)

Es una condición suficiente del extremo de la

en el punto de la señal varía con el punto máximo de

en el punto de la señal varía con el punto mínimo

Un ejemplo de la gráfica de la función , que tiene extremos

— puntos críticos de

 

 

Estudio de la función en la monotonía y extremos

Ejemplo.

La definición del área:

Función continua en cada punto de su dominio

existe en todo el ámbito de la definición de

cuando

 

 

aumenta cuando y cuando

se cae al

El punto extremo:

Extremos:

1. Encontrar el área de la definición y los intervalos, en los cuales la función es continua
2. Encontrar la derivada de la
3. Encontrar los puntos críticos, es decir, el interior del punto de la definición, en los que o no existe
4. Indicar los puntos críticos en el ámbito de la definición, encontrar el signo de la derivada y de la naturaleza del comportamiento de la función en cada intervalo, en que se divide el área de la definición de
5. Sobre todos y cada uno de los puntos críticos de determinar si es el punto máximo o mínimo o no es el punto del extremo de la
6. Grabar потріний el resultado de la investigación (de los intervalos de monotonía y extremos)

El mayor y el menor valor de la función continua en el intervalo

Propiedad: Si la función es continua en el intervalo y tiene en él un número finito de puntos críticos, ésta adquiere su máximo y el valor mínimo en este tramo, o en los puntos críticos que pertenecen a ese segmento, o en los extremos del segmento

El hallazgo de mayor y menor valor de función continua en el intervalo

Ejemplo. cuando

si y cuando

Especificada en la línea pertenece a un solo punto crítico

1. Encontrar la derivada de la
2. Encontrar los puntos críticos ( o no existe)
3. Seleccionar los puntos que pertenecen a la especificada en la línea
4. Calcular los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento
5. Comparar los valores obtenidos y seleccionar uno de ellos, el menor y el mayor