Anwendung der abgeleiteten Funktionen zur Forschung

Monotonie und Dauerhaftigkeit Funktionen

Hinreichende Bedingung Reihenfolge der Funktionen

Wenn in jedem Punkt des Intervalls , wird die Funktion steigt in diesem Intervall

 

Застосування похідної

 

Hinreichende Bedingung abnehmenden Funktionen

Wenn in jedem Punkt des Intervalls , wird die Funktion nimmt in diesem Intervall

 

Застосування похідної

 

Bemerkung. Diese Bedingungen sind nur ausreichend, sind aber nicht die notwendigen Voraussetzungen für Wachstum und abnehmenden Funktionen

Die notwendige und hinreichende Bedingung der Konstanz der Funktion

Die Funktion ist konstant auf dem Intervall dann und nur dann, wenn in allen Punkten des ganzen Intervall

 

Застосування похідної

 

Extrema (Maxima und minima) der Funktion

Der Punkt des Maximums

Definition: ein Punkt aus dem Definitionsbereich der Funktion wird als ein Punkt des Maximums dieser Funktion, wenn es eine - Umgebung den Punkt , dass für alle aus dieser Umgebung wird die Ungleichheit

 

Застосування похідної

 

— der Punkt des Maximums

— maximal

Der Punkt ein Minimum

Definition: ein Punkt aus dem Definitionsbereich der Funktion wird als ein Punkt des Minimums dieser Funktion, wenn es eine - Umgebung den Punkt , dass für alle aus dieser Umgebung wird die Ungleichheit

 

Застосування похідної

 

— der Punkt ein Minimum

— mindestens

Kritische Punkte

Definition: die Inneren Punkte Definitionsbereich der Funktion, die Ableitung einer Funktion gleich null ist oder nicht vorhanden ist, werden als kritisch

Notwendige Bedingung extre

— Punkt extre - oder — nicht vorhanden

(aber nicht in jedem Punkt , wo oder nicht vorhanden ist, wird der extremwert!)

Hinreichende Bedingung extre

in Punkt Zeichen ändert sich mit auf — zu-Punkt-Maximum

in Punkt Zeichen ändert sich mit auf — zu-Punkt-tief

Ein Beispiel für den graph einer Funktion , Extrema hat

— kritische Punkte

 

Застосування похідної

 

Studieren Sie die Funktionen auf Monotonie und Extrema

Beispiel.

Bereich "Definition":

Funktion Continuous in jedem Punkt Ihres Gebietes bestimmen

es gibt auf dem gesamten Definitionsbereich

bei

 

Застосування похідної

 

steigt bei und bei

nachlässt bei

Punkte extre:

Extrema:

  1. Suchen Sie den Bereich bestimmen und die Intervalle, auf denen die Funktion kontinuierlich ist
  2. Eine abgeleitete
  3. Eine kritische Punkte, d.h. die inneren Punkte der Bereiche bestimmen, in denen oder nicht vorhanden ist
  4. Bezeichnen kritische Punkte auf Definitionsbereich, eine abgeleitete Zeichen und das Verhalten der Funktion auf jedem Intervall, auf die sich ein Bereich definieren
  5. Relativ zu jedem kritischen Punkt bestimmen, ob es ein Punkt des Maximums oder Minimums oder nicht ist ein Punkt, der extre
  6. Notieren потріний das Ergebnis der Studie (die Intervalle der Monotonie und Extrema)

Größten und kleinsten Wert der Funktion, kontinuierliche auf der Strecke

Eigenschaft: Wenn die Funktion kontinuierlich auf der Strecke und hat darauf eine endliche Anzahl von kritischen Punkten, dann erwirbt Sie Ihren größten und kleinsten Werte auf dieser Strecke entweder in kritischen Punkten, die Zugehörigkeit zu diesem Segment, oder auf die Endpunkte des Intervalls

Finden größten und kleinsten Wert der Funktion, kontinuierliche auf der Strecke

Beispiel. bei

bei und bei

Bestimmten Segment gehört nur der kritische Punkt

  1. Eine abgeleitete
  2. Eine kritische Punkte ( oder nicht vorhanden)
  3. Wählen Sie kritische Punkte, die dem angegebenen Schnitt
  4. Berechnen Sie die Funktionswerte an den kritischen Punkten und an den enden geschnittener
  5. Vergleichen Sie die erhaltenen Werte und wählen Sie aus Ihnen die kleinste und die größte
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