Применение производной к исследованию функции

Монотонность и постоянство функции

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале

Достаточное условие убывания функции

Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале

Замечание. Эти условия являются лишь достаточными, но не являются необходимыми условиями роста и убывания функции

Необходимое и достаточное условие постоянства функции

Функция является постоянной на интервале тогда и только тогда, когда во всех точках всего интервала

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Точка максимума

Определение: Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если найдется - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

— точка максимума

— максимум

Точка минимума

Определение: Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если найдется - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

— точка минимума

— минимум

Критические точки

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими

Необходимое условие экстремума

— точка экстремума или — не существует

(но не в каждой точке , где или не существует, будет экстремум!)

Достаточное условие экстремума

в точке знак меняется с на — точка максимума

в точке знак меняется с на — точка минимума

Пример графика функции , что имеет экстремумы

— критические точки

Исследование функции на монотонность и экстремумы

Пример.

Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна

Область определения:

Функция непрерывная в каждой точке своей области определения

Найти производную

Найти критические точки, т. е. внутренние точки области определения, в которых или не существует

существует на всей области определения

при

Обозначить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума

Записать потріний результат исследования (промежутки монотонности и экстремумы)

возрастает при и при

спадает при

Точки экстремума:

Экстремумы:

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Свойство: Если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она приобретает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка