Показательные уравнения

Опорные факты

Любая возрастающая (убывающая) функция на промежутке каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого промежутка.

При показательная функция возрастает.

При показательная функция приходит.

При показательная функция стала.

По решению показательных уравнений нужно хорошо знать свойства корней и степеней.

Примеры решению простейших показательных уравнений

1. 

Решению:







Ответ:

2. 

Решению:







Ответ:

3. 

Решению:

Корней нет (так )

Ответ: корней нет

4. 

Решению:





Ответ:

Примеры решению показательных уравнений сведением к простейшим

______________________________________________________________________

Если в левой и правой частях показательного уравнения стоят только произведения, доли, корни ао степени, то целесообразно с помощью основных формул попробовать записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

______________________________________________________________________

Пример 1:

Розвяжіть уравнения .

Решения:

Ответ: .

______________________________________________________________________

Если в одной части показательного уравнения стоит число, а в другой все члены содержащих выражение вида (показатели степеней отличаются только свободными членами), то удобно в этой части уравнения вынести за скобки самый маленький степень .

______________________________________________________________________

Пример 2:

Розвяжіть уравнения .

Решения:

Ответ: .

Примеры решению более сложных показательных уравнений

______________________________________________________________________

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные свойства степеней).

Если возможно, сводим все степени к одному основанию и выполняем замену переменных.

______________________________________________________________________

Пример 3:

Розвяжіть уравнения .

Решения:

Учитывая, что , сводим степени к одному основанию 2:

Замена дает уравнение:

Обратная замена дает уравнение , откуда или - корней нет.

Ответ:

______________________________________________________________________

Если не степени можно свести к одной основе, то пробуем свести все степени к двум основ так, чтобы получить однородное уравнение.

______________________________________________________________________

Пример 4:

Розвяжіть уравнения .

Решения:

Давайте приведем все степени к двум основ 2 и 3:

Имеем однородное уравнение. Для его решению поделим обе части на ;

Замена дает уравнение:

Обратная замена дает уравнение , откуда или - корней нет.

Ответ:

______________________________________________________________________

В других случаях переносим все члены уравнения в одну часть и пробуем разложить полученное выражение на множители или применяем специальные приемы решению, в которых используем свойства соответствующей функции.

______________________________________________________________________

Пример 5:

Розвяжіть уравнения .

Решения:

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получим :

Выносим за скобки общий множитель :

Тогда или .

Получаем два уравнения 1), откуда или 2) , откуда .

Ответ: