Последовательности чисел, метод математической индукции

Определение: Последовательность —переменная величина, зависит от натурального числа (то есть функция натурального аргумента).

— члены (элементы) последовательности

Если элементы — действительные числа, то последовательность называется числовой

Примеры

• — последовательность четных натуральных чисел
• — последовательность целых отрицательных чисел
• — последовательность чисел, обратных к натуральным
• — числовая последовательность

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение: Последовательность называется возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего: (первая последовательность в примерах).

Определение: Последовательность называется убывающей, если (вторая и третья последовательности в примерах).

Метод математической индукции

Используеться для доказательства утверждений о числовые последовательности или о выражениях, зависящих от натурального числа, в формулировку которых явно или неявно присутствуют слова "для любого натурального "

Схема доказательства утверждений с помощью метода математической индукции

1. Проверяем, выполняется ли данное утверждение при (иногда начинают с )
2. Предполагаем, что заданное утверждение справедливо при (второй вариант — при )
3. Доводим (опираясь на предположение) справедливость нашего утверждения и при
4. Делаем вывод, что данное утверждение справедливо для любого натурального числа (для любого )

Пример.

Доказать:

Розвязання. Для удобства записи обозначим

1. При выполняется равенство
2. Предполагаем, что заданная равенство правильная при , то есть
3. Докажем, что равенство выполняется и при , то есть докажем, что
   
   Учитывая, что , получаем
4. Следовательно, заданная равенство правильная для любого натурального