Многочлен. Деление многочлена на многочлен

Определение: Многочленом от одной переменной — это многочлен вида где — числовые коэффициенты.

Определение: Если то этот многочлен называется многочленом -ой степени относительно переменной .

Член называется старшим членом многочлена a — его свободным членом.

— многочлен третьей степени.

Тождественно равные многочлены от одной переменной

Определение: Два многочлена называются тождественно равными, если они принимают равные значения при всех значениях переменной.

Свойства тождественного равенства многочленов от одной переменной

  1. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть приобретает нулевых значений при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.
  2. Если два многочлена тождественно равны (то есть приобретают одинаковые значения при всех значениях ), то они совпадают (то есть их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Деление многочлена на многочлен

Определение: Если для двух многочленов можно найти такой многочлен , , то говорят, что делится на .

Пример

Поскольку, , то многочлен делится на многочлен

Деление многочлена на многочлен з остачею

Определение: Многочлен делится на многочлен з остачею, если можно найти пару многочленов , что , причем степень остатка меньше степени .

Если остаток , то многочлен делится на многочлен без остатка)

Пример

,

Деление многочлена на многочлен "уголком"

Правило деления многочленов от одной переменной

  1. Разместить члены многочленов с нисходящими степенями переменной.
  2. Разделить старший член делимого на старший член делителя.
  3. Полученный результат умножить на делитель и это произведение вычесть из делимого.
  4. С полученной разницей выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат вновь умножают на делитель и так далее. Этот процесс продолжают дать, пока не получат остатка в ноль (если один многочлен делится на другой) или пока у остатка не получат многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Теорема Непре

Остаток от деления многочлена на двочлен равна

Следствие: Если — корень многочлена (то есть ), то этот многочлен делится без остатка на .

Пример

Остаток от деления многочлена на двочлен равна , то есть делится на без остатка.

Поделив на "уголком" или по схеме Горнера, получаем:

Раздел:
Версии на других языках: