Обратная функция

Понятие обратной функции: Пусть функция принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой ). Тогда для каждого числа ( из множества значений функции ) существует единственное значение (из области определения функции ), такое, что, . Рассмотрим новую функцию , которая каждому числу ставит в соответствие число , то есть . В этом случае функция называется обратной к функции .

Свойства обратной функции

Область определения прямой функции является множеством значений обратной, а множество значений прямой функции - область определения обратной.

Если функция возрастает (убывает) на некотором интервале, то она имеет обратную функцию на этом интервале, которая растет, если прямая функция возрастает, и убывает, если прямая функция приходит.
Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой (биссектрисы первого и третьего координатных углов)

Примеры обратных функций

Пример нахождение обратной функции

Пример: Найти обратную функцию для функции:

Решению: Найдем где заданная функция возрастает и убывает, . Тогда при функция возрастает при функция убывает.

На каждом из этих промежутков и запишем формулу обратной функции. Поскольку , то .

Отсюда , то есть при , а при . Изменяя обозначения на традиционное, получаем: для функции при обратной функцией будет функция , а при обратной функцией будет функция .