Определение: Пусть функция определена на всей числовой прямой. Число
называется пределом функции
при
, если для любого
найдется такое число
, что для всех
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
При , то есть при больших (по модулю) значениях
число
очень мало отличается от числа 0
Если поведение функции различна при
и при
, то отдельно рассматривают
(в определении берут
) и
(в определении берут
)
Предел последовательности
Поскольку последовательность является функцией натурального аргумента , то определение предела последовательности при
вполне совпадает с определением предела функции при
Определение: Число называется пределом последовательности
, если для любого
существует такое число
, что для всех
, выполняется неравенство
т. е.
Если при , то
Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций
![](http://cdn.cubens.com/contents/formulas/math_550643f44cf15eb73d2e184d6791be7f.png)
,
то есть
Если , то при
функция
растет быстрее любой степенной функции
, где
— натуральное число
Графически это утверждение означает, что при достаточно больших значениях график функции
(где
) расположен выше графика функции
![](http://cdn.cubens.com/contents/formulas/math_55a636968833c8c66c776aae0cd407d3.png)
,
то есть
,
При больших ;
,
поэтому
Если , то функция
возрастает медленнее, чем функция
(и тем более медленнее, чем функция
или функция
)
Графически это утверждение означает, что при достаточно больших значениях график функции
расположен ниже графика функции
(и тем более ниже графиков функций
)