Понятие второй производной
Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией от Если функция является дифференцированной, то ее производную называют второй производной и обозначают (или )
Пример.
Понятие выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функцї
Пусть функция определена на промежутке а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную
Если в некоторой окрестности точки все точки кривой графика функции (кроме самой точки ) лежат выше касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке является выпуклой (точнее, строго выпуклой). Также иногда говорят, что в этом случае график функции обращен выпуклостью вниз
Если в некоторой окрестности точки все точки кривой (кроме самой точки ) лежат ниже касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке является угнутою (точнее, строго угнутою). Также иногда говорят, что в этом случае график функции обращен выпуклостью вверх
Если точка на оси абсцисс имеет то свойство, что при переходе аргумента через нее кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то точка называется точкой перегиба функции точка кривой — точкой перегиба графика функции
— точка перегиба графика функции
— точка перегиба функции
В некоторой окрестности точки : при кривая ниже касательной, а при кривая выше касательной (или наоборот)
Исследование функции на выпуклость, угнутість и точки перегиба
Пример.
- Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна
- Найти вторую производную
- Найти внутренние точки области определения, в которых или не существует
- Отметить полученные точки на области определения, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения
- Записать нужный результат исследования (интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба)
Область определения:
Функция непрерывная в каждой точке своей области определения
существует на всей области определения
при
В интервале и в интервале график функции направлено выпуклостью вниз а в интервале график функции направлен выпуклостью вверх
Точки перегиба: i (в этих точках меняет знак)