Вторая производная, точка перегиба

Понятие второй производной

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией от Если функция является дифференцированной, то ее производную называют второй производной и обозначают (или )

Пример.

Понятие выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функцї

Пусть функция определена на промежутке а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную

Если в некоторой окрестности точки все точки кривой графика функции (кроме самой точки ) лежат выше касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке является выпуклой (точнее, строго выпуклой). Также иногда говорят, что в этом случае график функции обращен выпуклостью вниз

Если в некоторой окрестности точки все точки кривой (кроме самой точки ) лежат ниже касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке является угнутою (точнее, строго угнутою). Также иногда говорят, что в этом случае график функции обращен выпуклостью вверх

Если точка на оси абсцисс имеет то свойство, что при переходе аргумента через нее кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то точка называется точкой перегиба функции точка кривой — точкой перегиба графика функции

— точка перегиба графика функции

— точка перегиба функции

В некоторой окрестности точки : при кривая ниже касательной, а при кривая выше касательной (или наоборот)

Исследование функции на выпуклость, угнутість и точки перегиба

Пример.

Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна

Область определения:

Функция непрерывная в каждой точке своей области определения

Найти вторую производную

Найти внутренние точки области определения, в которых или не существует

существует на всей области определения

при

Отметить полученные точки на области определения, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения