Вторая производная, точка перегиба

Понятие второй производной

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией от Если функция является дифференцированной, то ее производную называют второй производной и обозначают (или )

Пример.

Понятие выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функцї

Пусть функция определена на промежутке а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную

Если в некоторой окрестности точки все точки кривой графика функции (кроме самой точки ) лежат выше касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке является выпуклой (точнее, строго выпуклой). Также иногда говорят, что в этом случае график функции обращен выпуклостью вниз

Друга похідна / Точка перегину

Если в некоторой окрестности точки все точки кривой (кроме самой точки ) лежат ниже касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке является угнутою (точнее, строго угнутою). Также иногда говорят, что в этом случае график функции обращен выпуклостью вверх

Друга похідна / Точка перегину

Если точка на оси абсцисс имеет то свойство, что при переходе аргумента через нее кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то точка называется точкой перегиба функции точка кривой — точкой перегиба графика функции

Друга похідна / Точка перегину

— точка перегиба графика функции

— точка перегиба функции

В некоторой окрестности точки : при кривая ниже касательной, а при кривая выше касательной (или наоборот)

Исследование функции на выпуклость, угнутість и точки перегиба

Пример.

  1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна
  2. Область определения:

    Функция непрерывная в каждой точке своей области определения

  3. Найти вторую производную
  4. Найти внутренние точки области определения, в которых или не существует
  5. существует на всей области определения

    при

  6. Отметить полученные точки на области определения, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения
  7. Друга похідна / Точка перегину

  8. Записать нужный результат исследования (интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба)
  9. В интервале и в интервале график функции направлено выпуклостью вниз а в интервале график функции направлен выпуклостью вверх

    Точки перегиба: i (в этих точках меняет знак)

Раздел:
Версии на других языках: