Логарифмические уравнения

Определение: Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма..

Чтобы хорошо уметь розвязувати логарифмические уравнения, нужно хорошо уметь владеть опорными соотношениями логарифма.

Равносильные преобразования простейших логарифмических уравнений.

Поскольку то и поэтому ОДЗ начального уравнения учтена автоматически.

или

Примеры решению простейших логарифмических уравнений

Пример 1

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Ответ:

Пример 2

Розвяжіть уравнения:

Решения:

(ОДЗ также учтено)

Тогда то есть

Ответ:

Схема решению более сложных логарифмических уравнений

1. Использование уравнений-следствий
2. Использование свойств соответствующих функций
3. Использование равносильных преобразований

Как розвязати логарифмическое уравнение

С помощью формул логарифмирования и потенцирования сводим уравнение к простейшему (при этом учитываем ОДЗ начального и следим за тем, чтобы не потерять корни при звужуванні ОДЗ). После преобразований, если не удается свести к простейшего логарифмического уравнения пробуем вводить замену переменных.

Примеры решению логарифмических уравнений

Пример 3 (использование формул логарифмирования)

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Перейдя к основанию 2, получаем равносильные уравнения

Замена

Тогда

Ответ:

Пример 4 (использование свойств логарифмических функций)

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Функция возрастает на области определения как сумма двух возрастающих функций, а приходит. Поэтому заданное уравнение имеет единственный корень

Ответ: