Определенный интеграл

Определение:Если функция определена на отрезке и , то определенным интегралом от функции на отрезке называется число, равное предела интегральной суммы где , f

то есть

где i

Построение интегральной суммы на примере определения площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке задано неотъемлемою и непрерывную функцию

 

Визначений інтеграл

Чтобы определить площадь криволинейной трапеции (ограниченной кривой осью и прямыми, и ), разбиваем отрезок точками

на частей, выбираем на каждом из полученных частичных отрезков произвольную точку вычисляем значения функции в этих точках и составляем сумму где

Эта сумма равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников и называется интегральной суммой.

Если теперь число точек разбиения неограниченно увеличивается и длина максимального (наибольшего) частичного отрезка разбиения стремится к нулю, и при этом величина стремится к определенной границы не зависит от способа разбиения и выбора точек на частичных отрезках, то величину называют площадью криволинейной трапеции, т. е.

Формула Ньютона - Лейбница

Если функция определена и непрерывна на отрезке и — ее первообразная (то есть ), то

Пример. Поскольку одна из первобытных то

Основные свойства определенного интеграла

  1.  
  2. Если интегрированная на и то

Раздел:
Версии на других языках: