Неравенство с одной переменной ОДЗ неравенства

Определение: Неравенство с одной переменной два выражения с переменной соединенные одним со знаком которая в общем виде записывается так:

Определение: Корнем (или розвязком) неравенства называется значение переменной, которое превращает неравенство в верное числовое равенство.

Розвязати неравенство — значит найти все его корни (развязки) или показать, что их нет.

Область допустимых значений ОДЗ неравенства

Определение: Область допустимых значений (область определения) неровности — общая область определения для функций , стоящих в левой и правой частях уравнения.

Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Пример

Задано уравнение:

ОДЗ: , т. е.
, что можно записать и так .

Неровности — последствия

При розвязувнні неровностей последствия не используются (а используются равносильные преобразования), поскольку обычно невозможно выполнить проверку всех полученных розвязків неравенства-следствия.

Равносильные неравенства

Определение: Равносильны (эквивалентны) неровности — две неровности, которые на множестве ОДЗ имеют одни и те же развязки, то есть каждое решение первого неравенства является розвязком второй и, наоборот.

Некоторые теоремы о равносильности уравнений

Теорема 1: Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим нерівнсть, равносильное заданному (на любом множестве).

Теорема 2.1: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получаем неравенство равносильное заданному.

Теорема 2.2: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же відємне число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и відємна на ОДЗ заданного уравнения) и, крм того, поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному.

Теорема 3.1: Если от обеих частей неравенства взять возрастающую функцию (сохранив знак неравенства) и при этом не происходит сужение ОДЗ заданного неравенства, то полученное неравенство будет равносильно заданному (на ОДЗ).

Теорема 3:2 Если от обеих частей неравенства взять нисходящую функцию , изменив знак неравенства, и при этом не происходит сужение ОДЗ заданного неравенства, то полученное неравенство будет равносильно заданному (на ОДЗ).

Следствия из теорем о равносильности неравенств

Следствие: Поскольку функция монотонно возрастает,то

.

При поднесении обеих частей до нечетного натурального степень получаем неравенство, равносильное данному.

Следствие: Поскольку функция монотонно возрастает лишь при ,то в случае, когда обе части неравенства невідємні, при подъеме обеих его частей до четного натурального степень получаем нерінвість, равносильное данному.

Пример 1

(обе части невідємні!)

Раздел:
Версии на других языках: