Системы линейных уравнений

Понятие системы и ее розвязків

Определение: Линейные уравнения с двумя переменными — это уравнение типа , где и — переменные, — заданные числа, для уравнения.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая превращает уравнение в верное числовое равенство. Эта пара значений переменных называется решением уравнения.

Если два неизвестных значения связаны не одним, а двумя уравнениями, то эти уравнения — система линейных уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара чисел, при которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Системы линейных уравнений с двумя переменными можно решить тремя способами:

  1. Графічнии способ решению систем линейных уравнений — в одной системе координат строятся графики двух уравнений, и координаты точки пересечения графиков соответствуют корням уравнений. Наиболее наглядный способ, но имеет и наибольшие погрешности при вычислениях, поскольку точность определения координат точки зависит от масштаба изображения. Особенно сложным является решение систем, когда коэффициенты или корни уравнения — дробные числа.
  2. Способ подстановки — наиболее универсальный из всех способов решения линейных уравнений с двумя переменными. Он используется практически для всех типов систем уравнений. Способ подстановки заключается в том, что из каждого уравнения одно из неизвестных выражается через другое неизвестное, и так до тех пор, пока не получим результирующее уравнение, в котором будет только одно неизвестное.
  3. Способ алгебраического сложения часто используется тогда, когда коэффициенты при одном из неизвестных численно равны или их можно свести к одинаковой числовой величины в рівносильному уравнении без сложных вычислений. Способ алгебраического сложения заключается в получении равносильного уравнения с одной из данных линейных уравнений. Добавляя два уравнения осуществляем переход к одному уравнению с одним неизвестным.

Решение систем линейных уравнений

Графический способ решения систем линейных уравнений

Пример: Розвяжіть уравнения:

Решению:

Строим графики на плоскости:

Построив графики систем линейных уравнений, увидим, что графики пересекаются в точке А

Ответ:

Способ подстановки для решения систем линейных уравнений

Пример: Розвяжіть уравнения:

Розв'зування:

Из первого уравнения выражаем

А полученное выражение подставляем во второе уравнение системы:

Полученное значение подставляем в выражение

Ответ:

Способ сложения для решения систем линейных уравнений

Пример: Розвяжіть уравнения:

Решения:

Должны избавиться от переменной Умножаем почленно первое уравнение системы на , а второе – на .

Почленно добавляем линейные уравнения и получаем:

Находим значение из первого уравнения системы:

Ответ:

Замечание: В методе добавления можно умножать не только на положительные числа, а и на отрицательные.

Также Вы можете ознакомиться с информацией о системы линейных уравнений здесь

 

Раздел:
Версии на других языках: