Геометрическая прогрессия, сумма геометрической прогрессии

Определение: Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

Определения: Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное для последовательности число , которое умножают на каждый член.

— геометрическая прогрессия,

— геометрическая прогрессия,

геометрическая прогрессия

 

знаменатель геометрической прогрессии

Характеристические свойства геометрической прогрессии

 

 

Свойством: Квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго члена) равен произведению предыдущего и последующего членов и наоборот, если выполняется указанное властивіть, то последовательность будет геометрической прогрессией.

Формулы n-ого члена геометрической прогрессии

 

 

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

 

План решению задач на геометрические прогрессии

  1. Все, о чем говорится в речи задачи (члены прогрессе, их суммы и т. д), выражаем через первый член и разность прогрессии.
  2. Составляем уравнение (или систему уравнений) по условию задачи. В случае, когда в задачи происходит переход от геометрической прогрессии к арифметической прогрессии и наоборот, для составления уравнений обычно используют характеристические свойства прогрессий.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы .

 

Пример

Определение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел, к которому стремится сумма ее первых членов, при бесконечном росте .

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразование периодической десятичной дроби в обычный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем )

 

 

 

 

 

 

 

Раздел:
Версии на других языках: