Показательные неравенства

Равносильные преобразования простейших неравенств

При а > 1

Знак неравенства сохраняется.

Пример 1

Розвяжіть неравенство:

Решения:

Функция является возрастающей, следовательно приравниваем показатели,

Ответ:

При 0 < а < 1

Знак неравенства меняется на противоположный.

Пример 2

Розвяжіть неравенство:

Решения:

Функция y=0,7^t~ является убывающей, следовательно приравниваем показатели,

Ответ:

Решению более сложных показательных неравенств

С помощью равносильных преобразований

С помощью равносильных преобразований (по схеме решению показательных уравнений) заданное неравенство сводится к неравенству известного вида (квадратной, дробной или другой). После решению полученной неравенства приходим к простейших показательных неравенств.

Пример 3

Розвяжіть неравенство:

Решения:

Замена дает неравенство

развязки которой или

Итак

(розвязків нет) или откуда то есть

Ответ:

С помощью общего метода интервалов

Применяем общий метод интервалов,

  1. Найти ОДЗ
  2. Найти нули функции
  3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
  4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример 4

Розвяжіть неравенство:

Решения:

Разрешим неравенство методом интервалов. Заданная неравенство івносильна неровности

Обозначим

  1. ОДЗ:
  2. Нули функции:
  3. Поскольку функция является возрастающей, то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения:
  4. Обозначим нуль функции на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые розбвається ОДЗ, и записываем развязки неровности

Ответ:

Решение неравенств очень похоже до показательных уравнений, поэтому, если Вы не нашли розязання подходящих неровностей, перейдите на страницу экспоненциальные уравнения.

Раздел:
Версии на других языках: