Иррациональные неравенства

Понятие иррационального неравенства

Определение: Иррациональное неравенство — неравенство, содержащее переменную под знаком корня -ой степени.

Решению иррациональных уравнений

Метод интервалов для решению иррациональных неравенств

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции
3. Отменить нули функции на ОДЗ и найти знак функции на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ .

Пример 1:

Розвяжіть уравнения:

Решение: Заданное неравенство равносильно неравенству

Обозначим

ОДЗ: , т. е.

Нули: подносим в квадрат левую и правую часть

- корень, - посторонний корень.

Ответ:

Равносильные преобразования

1. При поднесении обеих частей неравенства до нечетного степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному.

Пример 2:

Розвяжіть уравнения:

Решение: ОДЗ:

Заданное неравенство равносильно неравенствам:

Ответ:

2. Если обе части неравенства невідємні, то при подъеме обеих частей неравенства к парному степени (с сохранением знаком неравенства) получаем неравенство, равносильное данному.

Пример 3 :

Розвяжіть уравнения:

Решение: ОДЗ:

Обе части заданного неравенства невідємні, следовательно, она равносильно неравенствам:

Учитывая ОДЗ, получаем .

Ответ:

3. Если на ОДЗ заданного неравенства какая-то часть неравенства может приобретать как положительные, так и неотъемлемых значений, то, прежде чем подносить обе части неравенства до парного степеня, эти случаи стоит рассмотреть отдельно.

Пример 4 :

Розвяжіть уравнения:

Решение: Заданное неравенство равносильно совокупности систем:

или

Тогда или

Розвязавши неравенство имеем

Учитывая неравенство , получаем решение первой системы . Решение второй системы: Обєднуючи эти развязки, получаем ответ.

Ответ: