Геометрична прогресія, сума геометричної прогресії

Означення: Геометрична прогресія — числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те ж саме число, яке не рівне нулю.

Означення: Знаменник геометричної прогресії — постійне для послідовності число , яке множать на кожний член.

— геометрична прогресія,

— геометрична прогресія,

геометрична прогресія

знаменник геометричної прогресії

Характеристичні властивості геометричної прогресії

Властивість: Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії (починаючи з другого члена) дорівнює добуткові попереднього і наступного членів і навпаки, якщо виконується зазначена властивіть, то послідовність буде геометричною прогресією.

Формули n-ого члена геометричної прогресії

Формули суми n перших членів геометричної прогресії

План розвязування задач на геометричні прогресії

  1. Все, про що говориться в мові задачі (члени прогресі, їх суми тощо), виражаємо через перший член і різницю прогресії.
  2. Складаємо рівняння (чи систему рівнянь) за умовою задачі. У випадку, коли в задачі відбувається перехід від геометричної прогресії до арифметичної прогресії і навпаки, для складання рівнянь звичайно використовують характеристичні властивості прогресій.

Нескінченно спадна геометрична прогресія

Означення: Нескінченно спадна геометрична прогресія — нескінченна геометрична прогресія, знаменник, якої за модулем менший від одиниці .

Приклад

Означення: Сума нескінченно спадної геометричної прогресії — границя, до якої прямує сума її перших членів, при нескінченному зростанні .

Формула для обчислення суми нескінченно спадної геометричної прогресії

Приклад знаходження суми нескінченно спадної геометричної прогресії

Перетворення періодичного десяткового дробу на звичайний

Приклад

(як сума нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником )

Розділ:
Версії іншими мовами: