Обчислення площ і об'ємів за допомогою визначеного інтеграла

Площа криволінійної трапеції

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної додатної на відрізку функції віссю і прямими і дорівнює

 

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

Приклад.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

Зображуючи ці лінії, одержуємо криволінійну трапецію

 

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

 

Площа фігури обмеженої графіками двох функцій і прямими і

Якщо на заданому відрізку неперервні функції і мають ту властивість, що для всіх то

 

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

 

Приклад.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

Зобразимо задані лінії і абсциси їх точок перетину.

Абсциси точок перетину:

Тоді за формулою

 

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

 

Обєми тіл

У загальному випадку

Якщо тіло вміщено між двома перпендикулярними до осі площинами, що проходять через точки і то

де — площа перерізу тіла площиною, що проходить через точку і перпендикулярна до осі

 

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

 

Для тіла обертання

Якщо тіло одержано в результаті обертання навколо осі криволінійної трапеції, яка обмежена графіком неперервної і невідємної функції на відрізку і прямими і то

 

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

 

Версії іншими мовами: