Неперервність функції

Неперервність функції у точці

Означення: Функція називається неперервною в точці , якщо при , тобто .

Неперервність функції на проміжку

Означення: Якщо функція неперервна в кожній точці деякого проміжку , то її називають неперервною на проміжку .

Властивості неперервності функції

Приклад неперервності функції

— неперервна функція (многочлен)

, тому на інтервалі (0;1) існує точка , в якій функція дорівнює 0:

Приклад неперервності функції

Метод інтервалів

Приклад неперервності функції

— неперервна функція. Якщо

, то . Оскільки , то існує точка , в якій .

Правило знаходження найбільшого і найменшого значенб функції.

1. Якщо неперервна на відрузку функці набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, то в деякій точці цього відрізка вона набуває значення, яке дорівнює нулю.
2. Якщо на інтервалі функція неперервна і не перетворюється на нуль, то на цьому інтервалі функція зберігає постійний знак.
3. Функція , яка неперервна на відрізку , набуває всіх проміжних значень між значеннями цієї функції у крайніх точках, тобто між і .
4. Функція , яка неперервна на відрізку , обмежена на цьому відрізку, тобто існують два числа і , що для всіх виконується нерівність .
5. Сума різниці і добуток неперервних на даному інтервалі функцій — неперервна на тому ж самому інтервалі функція. Частка двох неперервних функцій — неперервна функція в усіх точках, в яких знаменник не перетвоюється на нуль.
6. Функція, обернена до неперервної функції на заданому інтервалі, є неперервною на цьому інтервалі.
7. Якщо функція має похідну в точці , то вона є неперервною в цій точці.

Точки розриву

Означення: Точка точка розриву функції , якщо в точці , не виконується умова, що при .

Приклади функцій, що містять точки розриву

— точки розриву усі цілочислові точки

— точка розриву - 0

— точка розриву - 0