Обернена функція

Поняття оберненої функції: Нехай функція приймає кожне своє значення в єдиній точці її області визначення (така функція називається оборотною ). Тоді для кожного числа ( з множини значень функції ) існує єдине значення (з області визначення функції ), таке, що, . Розглянемо нову функцію , яка кожному числу ставить у відповідність число , тобто . У цьому випадку функція називається оберненою до функції .

Властивості оберненої функції

1. Область визначення прямої функції є множиною значень оберненої, а множина значень прямої функції - область визначення оберненої.
2. Якщо функція зростає (спадає) на деякому інтервалі, то вона має обернену функцію на цьому інтервалі, яка зростає, якщо пряма функція зростає, і спадає, якщо пряма функція спадає.
3. Графіки прямої і оберненої функції симетричні відносно прямої (бісектриси першого і третього координатних кутів)

Приклади обернених функцій

Приклад знаходження оберненої функції

Приклад: Знайти обернену функцію для функції:

Розвязування: Знайдемо де задана функція зростає і спадає, . Тоді при - функція зростає і при - функція спадає.

На кожному з цих проміжків і запишемо формулу оберненої функції. Оскільки , то .

Звідси , тобто при , а при . Змінюючи позначення на традиційне, дістаємо: для функції при оберненою функцією буде функція , а при оберненою функцією буде функція .