Друга похідна, точка перегину

Поняття другої похідної

Нехай функція має похідну в усіх точках деякого проміжку. Ця похідна, в свою чергу, є функцією від Якщо функція є диференційованою, то її похідну називають другою похідною від і позначають (або )

Приклад.

Поняття опуклості, угнутості і точок перегину графіка функцї

Нехай функція визначена на проміжку а в точці має скінченну похідну. Тоді до графіка цієї функції в точці можна провести дотичну

Якщо в деякому околі точки усі точки кривої графіка функції (крім самої точки ) лежать вище від дотичної, то кажуть, що крива (і сама функція) в точці є опуклою (точніше, строго опуклою). Також іноді кажуть, що в цьому випадку графік функції напрямлений опуклістю вниз

 

 

Якщо в деякому околі точки усі точки кривої (крім самої точки ) лежать нижче від дотичної, то кажуть, що крива (і сама функція) в точці є угнутою (точніше, строго угнутою). Також іноді кажуть, що в цьому випадку графік функції напрямлений опуклістю вгору

 

 

Якщо точка осі абсцис має ту властивість, що при переході аргументу через неї крива переходить з однієї сторони дотичної на другу, то точка називається точкою перегину функції а точка кривої — точкою перегину графіка функції

 

 

— точка перегину графіка функції

— точка перегину функції

У деякому околі точки : при крива нижче від дотичної, а при крива вище від дотичної (чи навпаки)

Дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину

Приклад.

Область визначення:

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення

існує на всій області визначення

при

 

 

В інтервалі і в інтервалі графік функції напрямлено опуклістю вниз а в інтервалі графік функції направлено опуклістю вгору

Точки перегину: i (в цих точках змінює знак)

1. Знайти область визначення і інтервали, на яких функція неперервна
2. Знайти другу похідну
3. Знайти внутрішні точки області визначення, в яких або не існує
4. Позначити одержані точки на області визначення, знайти знак другої похідної і характер поведінки функції на кожному інтервалі, на які розбивається область визначення
5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали опуклості і угнутості і точки перегину)