Показникові рівняння

Опорні факти

Будь-яка зростаюча (спадна) функція на проміжку набуває кожного свого значення лише в одній точці з цього проміжку.

При показникова функція зростає.

При ~0 показникова функція спадає.

При показникова функція стала.

Для розвязування показникових рівнянь потрібно добре знати властивості коренів та степенів.

Приклади розвязування найпростіших показникових рівнянь

 

 

Розвязування:

Відповідь:

 

Розвязування:

Відповідь:

 

Розвязування:

Коренів немає (оскільки )

Відповідь: коренів немає

 

Розвязування:

Відповідь:

Приклади розвязування показникових рівнянь, зведенням до найпростіших

______________________________________________________________________

Якщо в лівій і правій частинах показникового рівняння стоять тільки добутки, частки, корені ао степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати записати обидві частини рівняння як степені з однією основою.

______________________________________________________________________

Приклад 1:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Відповідь: .

 

______________________________________________________________________

Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть число, а в іншій усі члени містять вираз виду (показники степенів відрізняються тільки вільними членами), то зручно в цій частині рівняння винести за дужки найменший степінь .

______________________________________________________________________

Приклад 2:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Відповідь: .

Приклади розвязування більш складніших показникових рівнянь

______________________________________________________________________

Позбавляємось числових доданків у показниках степенів (використовуючи справа наліво основні властивості степенів).

Якщо можливо, зводимо всі степені до однієї основи і виконуємо заміну змінних.

______________________________________________________________________

Приклад 3:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Ураховуючи, що , зводимо степені до однієї основи 2:

Заміна дає рівняння:

Обернена заміна дає рівняння , звідки або - коренів немає.

Відповідь:

 

 

______________________________________________________________________

Якщо не можна звести степені до однієї основи, то пробуємо звести всі степені до двох основ так, щоб одержати однорідне рівняння.

______________________________________________________________________

Приклад 4:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Зведемо всі степені до двох основ 2 і 3:

Маємо однорідне рівняння. Для його розвязування поділимо обидві частини на ;

Заміна дає рівняння:

Обернена заміна дає рівняння , звідки або - коренів немає.

Відповідь:

 

______________________________________________________________________

В інших випадках переносимо всі члени рівняння в одну частину і пробуємо розкласти одержаний вираз на множники або застосовуємо спеціальні прийоми розвязування, у яких використовуємо властивості відповідній функцій.

______________________________________________________________________

Приклад 5:

Розвяжіть рівняння .

Розвязання:

Якщо попарно згрупувати члени в лівій частині рівняння і в кожній парі винести за дужки спільний множник, то одержимо :

Виносимо за дужки спільний множник :

Тоді або .

Одержуємо два рівняння 1), звідки або 2) , звідки .

Відповідь:

Розділ:
Версії іншими мовами: