Рівняння з однією змінною, область допустимих значень рівняння

Означення: Рівняння з однією змінною — рівність з однією змінною , яка у загальному вигляді записується так:

Означення: Коренем (або розвязком) рівняння називається значення змінної, що перетворює рівняння на правильну числову рівність.

Розвязати рівняння — значить знайти всі його корені (розвязки) або показати, що їх немає.

Область допустимих значень (ОДЗ) рівняння

Означення: Область допустимих значень (область визначення) рівняння — спільна область визначення для функцій , що стоять у лівій і правій частинах рівняння.

Знайти область допустимих значень (ОДЗ)

Приклад

Задано рівняння:

ОДЗ: , тобто , оскільки область визначення функції визначається умовою , а областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел.

Рівняння — наслідки

Якщо кожний корінь першого рівняння є коренем другого рівняння, то друге рівняння називають наслідком першого рівняння.

Якщо з правильності першої рівності випливає правильність кожної наступної, то одержумо рівняння—наслідок

Тому при використанні рівнянь—наслідків перевірка одержаних коренів підстановкою в початкове рівняння є складовою частиною розвязування.

Приклад 1

Розвязати рівняння:

Розвязування:

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

;

;

;

.

Робимо перевірку. — корінь — сторонній корінь.

Відповідь: .

Рівносильні рівняння

Означення: Рівносильні (еквівалентні) рівняння — два рівняння, які на множині ОДЗ мають одні й ті самі розвязки, тобто кожний розвязок першого рівняння є розвязком другого і, навпаки.

Деякі теореми про рівносильність рівнянь

Теорема 1: Якщо з однієї частини рівняння перенести в іншу частину доданки з протилежним знаком, то одержимо рівняння, рівносильне заданому (на будь-якій множині).

Теорема 2: Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те ж саме число, яке не дорівнює нулю (або на одну й ту саму функцію, що визначена і не дорівнює нулю на ОДЗ заданого рівняння), то одержуємо рівняння рівносильне заданому.

Теорема 3: Якщо від обох частин рівняння взяти зростаючу (або спадну) функцію і при цьому не відбувється звуження ОДЗ заданого рівняння буде рівносильне заданому (на ОДЗ).

Наслідки з теорем про рівносильність рівнянь

Наслідок: Оскільки функція монотонно зростає,то

.

 

При піднесенні обох частин рівняння до непарного натурального степеня одержуємо рівняння, рівносильне даному.

Наслідок: Оскільки функція монотонно зростає лише при ,то в разі, коли обидві частини рівняння невідємні, при піднесенні обох його частин до парного натурального степеня одержуємо рівняння, рівносильне даному.

Розділ:
Версії іншими мовами: