Подільність цілих чисел, ознаки подільності

Означення: Ціле число ділиться на ціле число , якщо існує таке число , що .

Число називається дільником числа , а число — кратним числу .

Властивості подільності

1. Якщо і , то .
2. Якщо і , і — будь-які цілі числа, то .
3. Якщо і то .
4. Якщо і , тоді і — взаємопрості числа.

Ознаки подільності

Ознака подільності числа 2

Остання цифра числа ділиться на 2 (парна).

Ціле число , що ділиться на 2, називається парним, і його можна подати у вигляді , де .

Ціле число , що не ділиться на 2 називають непарним, і його можна подати у вигляді , де .

Ознака подільності числа 3

Сума цифр числа ділиться на 3.

Наприклад, число 822. Воно не містить трійки, однак сума його цифр: ділиться на 3 націло, отже за ознаками подільності 822 ділиться на 3: .

Ознака подільності числа 10

Число закінчується на нулів.

Ознака подільності числа 4

Число, виражене двома останніми цифрами даного числа, ділиться на 4.

Наприклад, число досить велике для ділення в стовпчик школярами в 7 класі.

Однак потрібноо лише перевірити подільність на 4 двох останніх цифр і ми можемо зробити висновок, що 88888824 має дільником четвірку.

Ознака подільності числа 7

Правило подільності на 7 для великих чисел. Число розбивають уявно на блоки по три цифри, починаючи з останньої цифри. Згідно правила, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7, то число ділиться на 7.

Наприклад,

Перевіримо 273 за правилом

Це число "красиво" ділиться на 7. Таким перевірити подільність числа на 7 та розв'язати приклад маємо можливість за кількома правилами. Кожне з них має для ряду чисел певні переваги над іншим, тому вибирайте, який спосіб для Вас зрозуміліший і швидший.

Ознака подільності числа 5

Остання цифра числа дорівнює 0 або 5.

Ознака подільності числа 8

Число, виражене трьома останніми цифрами даного числа, ділиться на 8.

Ознака подільності числа 9

Сума цифр числа ділиться на 9.

Ознака подільності числа 11

Різниця між сумою цифр, що стоять на непарних місцях (рахуючи справа наліво), і сумою цифр, що стоять на парних місцях (рахуючи справа наліво), ділиться на 11.