Послідовності чисел, метод математичної індукції

Означення: Послідовність —змінна величина, що залежить від натурального числа (тобто функція натурального аргументу).

— члени (елементи) послідовності

Якщо елементи — дійсні числа, то послідовність називається числовою

Приклади

• — послідовність парних натуральних чисел
• — послідовність цілих відємних чисел
• — послідовність чисел, обернених до натуральних
• — числова послідовність

Зростаючі та спадні послідовності

Означення: Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього: (перша послідовність у прикладах).

Означення: Послідовність називається спадною, якщо

Метод математичної індукції

Вкористовується для доведення тверджень про числові послідовності або про вирази, що залежать від натурального числа, у формулювання яких явно чи неявно присутні слова "для будь-якого натурального "

 

Схема доведення тверджень за допомогою методу математичної індукції

 

1. Перевіряємо, чи виконується дане твердження при (іноді починають з )
2. Припускаємо, що задане твердження справедливе при (другий варіант — при )
3. Доводимо (спираючись на припущення) справедливість нашого твердження і при
4. Робимо висновок, що дане твердження справедливе для будь-якого натурального числа (для будь-якого )

 

Приклад.

Довести:

 

Розвязання. Для зручності запису позначимо

 

 

 

1. При рівність виконується
2. Припускаємо, що задана рівність правильна при , тобто
3. Доведемо, що рівність виконується і при , тобто доведемо, що
   

    

   Враховуючи, що , одержуємо
4. Отже, задана рівність правильна для будь-якого натурального