Многочлен. Ділення многочлена на многочлен

Означення: Многочленом від однієї змінної — многочлен вигляду де — числові коефіцієнти.

Означення: Якщо то цей многочлен називається многочленом -ого степеня відносно змінної .

Член називається старшим членом многочлена a — його вільним членом.

— многочлен третього степеня.

Тотожно рівні многочлени від однієї змінної

Означення: Два многочлена називаються тотожно рівними, якщо вони набувають рівних значень при всіх значеннях змінної.

Властивості тотожної рівності многочленів від однієї змінної

  1. Якщо многочлен тотожно дорівнює нулю (тобто набуває нульових значень при усіх значеннях ), то всі його коефіцієнти дорівнюють нулю.
  2. Якщо два многочлена тотожно рівні (тобто набувають однакових значень при усіх значеннях ), то вони збігаються (тобто їх степеня однакові і коефіцієнти при однакових степенях рівні).

Ділення многочлена на многочлен

Означення: Якщо для двох многочленів можна знайти такий многочлен , що , то говорять, що ділиться на .

Приклад

Оскільки, , то многочлен ділиться на многочлен

Ділення многочлена на многочлен з остачею

Означення: Многочлен ділиться на многочлен з остачею, якщо можна знайти пару многочленів , що , причому степінь остачі менший від степеня .

Якщо остача , то многочлен ділиться на многочлен (без остачі)

Приклад

,

Ділення многочлена на многочлен "куточком"

Правило ділення многочленів від однієї змінної

  1. Розмістити члени многочленів за спадними степенями змінної.
  2. Поділити старший член діленого на старший член дільника.
  3. Одержаний результат помножити на дільник і цей добуток відняти від діленого.
  4. З одержаною різницею виконують аналогічну операцію: ділять її старший член на старший член дільника і здобутий результат знов множать на дільник і так далі. Цей процес продовжують дати, доки не одержать в остачі нуль (якщо один многочлен ділиться на другий) або поки в остачі не одержать многочлен, степінь якого менший від степеня дільника.

Теорема Безу

Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює

Наслідок: Якщо — корінь многочлена (тобто ), то цей многочлен ділиться без остачі на .

Приклад

Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює , тобто ділиться на без остачі.

Поділивши на "куточком" або за схемою Горнера, одержуємо:

Розділ:
Версії іншими мовами: