Монотонність і сталість функції
Достатня умова зростання функції
Якщо в кожній точці інтервалу , то функція зростає на цьому інтервалі

Достатня умова спадання функції
Якщо в кожній точці інтервалу , то функція спадає на цьому інтервалі

Зауваження. Ці умови є лише достатніми, але не є необхідними умовами зростання і спадання функції
Необхідна і достатня умова сталості функції
Функція є сталою на інтервалі
тоді і тільки тоді, коли
в усіх точках уього інтервалу

Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції
Точка максимуму
Означення: Точка з області визначення функції
називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться
- окіл
точки
, такий, що для всіх
з цього околу виконується нерівність

— точка максимуму
— максимум
Точка мінімуму
Означення: Точка з області визначення функції
називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться
- окіл
точки
, такий, що для всіх
з цього околу виконується нерівність

— точка мінімуму
— мінімум
Критичні точки
Означення: Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними
Необхідна умова екстремуму
— точка екстремуму
або
— не існує
(але не в кожній точці , де
або
не існує, буде екстремум!)
Достатня умова екстремуму
у точці знак
змінюється з
на
— точка максимуму
у точці знак
змінюється з
на
— точка мінімуму
Приклад графіка функції
, що має екстремуми
— критичні точки

Дослідження функції на монотонність і екстремуми
Приклад.
Область визначення:
Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення
існує на всій області визначення
при

зростає при
і при
спадає при
Точки екстремуму:
Екстремуми:
- Знайти область визначення і інтервали, на яких функція неперервна
- Знайти похідну
- Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, в яких
або не існує
- Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному інтервалі, на які розбивається область визначення
- Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи не є точкою екстремуму
- Записати потріний результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми)
Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку
Властивість: Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка
Знаходження найбільшого і найменшого значення функції, неперервної на відрізку
Приклад. при
при
і при
Заданому відрізку належить лише критична точка
- Знайти похідну
- Знайти критичні точки (
або не існує)
- Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку
- Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку
- Порівняти одержані значення і вибрати з них найменше і найбільше