Застосування похідної до дослідження функції

Монотонність і сталість функції

Достатня умова зростання функції

Якщо в кожній точці інтервалу , то функція зростає на цьому інтервалі

 

Застосування похідної

 

Достатня умова спадання функції

Якщо в кожній точці інтервалу , то функція спадає на цьому інтервалі

 

Застосування похідної

 

Зауваження. Ці умови є лише достатніми, але не є необхідними умовами зростання і спадання функції

Необхідна і достатня умова сталості функції

Функція є сталою на інтервалі тоді і тільки тоді, коли в усіх точках уього інтервалу

 

Застосування похідної

 

Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції

Точка максимуму

Означення: Точка з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл точки , такий, що для всіх з цього околу виконується нерівність

 

Застосування похідної

 

— точка максимуму

— максимум

Точка мінімуму

Означення: Точка з області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл точки , такий, що для всіх з цього околу виконується нерівність

 

Застосування похідної

 

— точка мінімуму

— мінімум

Критичні точки

Означення: Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними

Необхідна умова екстремуму

— точка екстремуму або — не існує

(але не в кожній точці , де або не існує, буде екстремум!)

Достатня умова екстремуму

у точці знак змінюється з на — точка максимуму

у точці знак змінюється з на — точка мінімуму

Приклад графіка функції , що має екстремуми

— критичні точки

 

Застосування похідної

 

Дослідження функції на монотонність і екстремуми

Приклад.

Область визначення:

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення

існує на всій області визначення

при

 

Застосування похідної

 

зростає при і при

спадає при

Точки екстремуму:

Екстремуми:

  1. Знайти область визначення і інтервали, на яких функція неперервна
  2. Знайти похідну
  3. Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, в яких або не існує
  4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному інтервалі, на які розбивається область визначення
  5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи не є точкою екстремуму
  6. Записати потріний результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми)

Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

Властивість: Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка

Знаходження найбільшого і найменшого значення функції, неперервної на відрізку

Приклад. при

при і при

Заданому відрізку належить лише критична точка

  1. Знайти похідну
  2. Знайти критичні точки ( або не існує)
  3. Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку
  4. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку
  5. Порівняти одержані значення і вибрати з них найменше і найбільше
Версії іншими мовами: