Застосування похідної до дослідження функції

Монотонність і сталість функції

Достатня умова зростання функції

Якщо в кожній точці інтервалу , то функція зростає на цьому інтервалі

Достатня умова спадання функції

Якщо в кожній точці інтервалу , то функція спадає на цьому інтервалі

Зауваження. Ці умови є лише достатніми, але не є необхідними умовами зростання і спадання функції

Необхідна і достатня умова сталості функції

Функція є сталою на інтервалі тоді і тільки тоді, коли в усіх точках уього інтервалу

Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції

Точка максимуму

Означення: Точка з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл точки , такий, що для всіх з цього околу виконується нерівність

— точка максимуму

— максимум

Точка мінімуму

Означення: Точка з області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл точки , такий, що для всіх з цього околу виконується нерівність

— точка мінімуму

— мінімум

Критичні точки

Означення: Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними

Необхідна умова екстремуму

— точка екстремуму або — не існує

(але не в кожній точці , де або не існує, буде екстремум!)

Достатня умова екстремуму

у точці знак змінюється з на — точка максимуму

у точці знак змінюється з на — точка мінімуму

Приклад графіка функції , що має екстремуми

— критичні точки

Дослідження функції на монотонність і екстремуми

Приклад.

Область визначення:

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення

існує на всій області визначення

при

зростає при і при

спадає при

Точки екстремуму:

Екстремуми:

Знайти область визначення і інтервали, на яких функція неперервна
Знайти похідну
Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, в яких або не існує
Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному інтервалі, на які розбивається область визначення
Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи не є точкою екстремуму
Записати потріний результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми)

Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

Властивість: Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка