Границя функції в нескінченності

Означення: Нехай функція визначена на всій числовій прямій. Число називається границею функції при , якщо для довільного знайдеться таке число , що для всіх , які задовільняють умову , виконується нерівність

При , тобто при великих (за модулем) значеннях число дуже мало відрізняється від числа 0

 

Якщо поведінка функції різна при та при , то окремо розглядають (в означенні беруть ) і (в означенні беруть )

Границя послідовності

Оскільки послідовність є функцією натурального аргументу , то означення границі послідовності при цілком збігається з означенням границі функції при

Означення: Число називається границею послідовності , якщо для довільного існує таке число , що для всіх , виконується нерівність тобто

Якщо при , то

Порівняння росту показникової, степеневої та логарифмічної функцій

  • При

,

тобто

Якщо , то при функція зростає швидше від будь-якої степеневої функції , де — натуральне число

Графічно це твердження означає, що при досить великих значеннях графік функції (де ) розташовано вище від графіка функції

  • При

,

тобто

,

При великих ;

,

тому

Якщо , то функція зростає повільніше, ніж функція (і тим більш повільніше, ніж функція або функція )

Графічно це твердження означає, що при досить великих значеннях графік функції розташовано нижче від графіка функції (і тим більш нижче від графіків функцій )

Версії іншими мовами: