Aplicação de derivada ao estudo de funções

A monotonia e a constância da função

Uma condição crescente de funções

Se em cada ponto do intervalo , então a função aumenta no intervalo de

 

Застосування похідної

 

Condição suficiente decrescente, de acordo com a função

Se em cada ponto do intervalo , então a função é decrescente neste intervalo de

 

Застосування похідної

 

A observação. Estes termos e condições são apenas suficientes, mas não são necessárias condições de crescimento e função decrescente

Condição necessária e suficiente de permanência função

A função é constante no intervalo de então, e só então, quando todos os pontos do intervalo todo

 

Застосування похідної

 

Extremos (máximos e mínimos) da função

O ponto de máximo

Definição: um Ponto do domínio da função é chamado de ponto de máximo desta função, se houver - bairro ponto , que, para todos, a partir deste bairro é executado a desigualdade

 

Застосування похідної

 

— ponto de máximo

— máximo de

O ponto de mínimo

Definição: um Ponto do domínio da função é chamado de ponto de mínimo desta função, se houver - bairro ponto , que, para todos, a partir deste bairro é executado a desigualdade

 

Застосування похідної

 

— ponto de mínimo

— mínimo de

Ponto crítico

Definição: Internos ponto de escopo de função, em que a derivada de uma função é igual a zero ou de não existir são chamados de críticos

A condição necessária extrema

— o ponto extremo ou não existe

(mas não em cada ponto , onde ou não existir, será exagerado!)

Uma condição extrema

no ponto de sinal muda com o ponto de máximo

no ponto de sinal muda com o ponto de mínimo

Um exemplo de gráficos de funções , que tem extremos

— ponto crítico

 

Застосування похідної

 

A função de pesquisa sobre a monotonia e extremos

Exemplo.

A definição da área:

Função contínua em cada ponto de sua área de definição

há em toda a área de definição de

quando

 

Застосування похідної

 

aumenta quando e quando

diminui quando

Do ponto de extremum:

Extremos:

  1. Encontrar a definição da área e os intervalos em que a função é contínua
  2. Para encontrar a derivada
  3. Localizar os pontos críticos, т. е. internos de um ponto de definição de área, em que ou não existe
  4. Marcar os pontos críticos na definição de área, encontrar o sinal da função derivada e a descrição do comportamento da função em cada intervalo, em que é dividida a área de detecção de
  5. Relativamente a cada ponto crítico determinar se ela é o ponto de máximo ou mínimo ou não é um ponto de extrema
  6. Gravar потріний o resultado de um estudo (em intervalos de monotonia e extremos)

O maior e o menor valor de função contínua no intervalo

Propriedade: Se a função é contínua em um intervalo fechado e tem nele um número finito de pontos críticos, ela adquire o seu maior e o menor valor neste segmento, ou em pontos críticos, pertença a esta corte, ou nas extremidades do corte

Encontrar o maior e o menor valor da função contínua no intervalo

Exemplo. quando

se e quando

A um determinado segmento pertence somente a um ponto crítico

  1. Para encontrar a derivada
  2. Localizar os pontos críticos ( ou não existe)
  3. Escolher o ponto crítico, que pertencem a um determinado segmento
  4. Calcular o valor da função em pontos críticos e nas extremidades do corte
  5. Comparar os valores obtidos e escolher o menor e o maior
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