Нерівність з однією змінною, ОДЗ нерівності

Означення: Нерівність з однією змінною два вирази з змінною сполучені одним зі знаком яка у загальному вигляді записується так:

Означення: Коренем (або розвязком) нерівності називається значення змінної, що перетворює нерівність на правильну числову рівність.

Розвязати нерівність — значить знайти всі його корені (розвязки) або показати, що їх немає.

Область допустимих значень ОДЗ нерівності

Означення: Область допустимих значень (область визначення) нерівності — спільна область визначення для функцій , що стоять у лівій і правій частинах рівняння.

Знайти область допустимих значень (ОДЗ)

Приклад

Задано рівняння:

ОДЗ: , тобто
, що можна записати і так .

Нерівності — наслідки

При розвязувнні нерівностей наслідки не використовуються (а використовуються рівносильні перетворення), оскільки звичайно неможливо виконати перевірку всіх одержаних розвязків нерівності-наслідку.

Рівносильні нерівності

Означення: Рівносильні (еквівалентні) нерівності — дві нерівності, які на множині ОДЗ мають одні й ті самі розвязки, тобто кожний розвязок першої нерівності є розвязком другої і, навпаки.

Деякі теореми про рівносильність рівнянь

Теорема 1: Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданки з протилежним знаком, то одержимо нерівнсть, рівносильну заданій (на будь-якій множині).

Теорема 2.1: Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те ж саме додатне число, яке не дорівнює нулю (або на одну й ту саму функцію, що визначена і не дорівнює нулю на ОДЗ заданого рівняння), то одержуємо нерівність рівносильну заданій.

Теорема 2.2: Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те ж саме відємне число, яке не дорівнює нулю (або на одну й ту саму функцію, що визначена і відємна на ОДЗ заданого рівняння) і, крм того, змінити знак нерівності на протилежний, то одержуємо нерівність рівносильну заданій.

Теорема 3.1: Якщо від обох частин нерівності взяти зростаючу функцію (зберігши знак нерівності) і при цьому не відбувається звуження ОДЗ заданої нерівності, то одержана нерівність буде рівносильна заданій (на ОДЗ).

Теорема 3:2 Якщо від обох частин нерівності взяти спадну функцію , змінивши знак нерівності, і при цьому не відбувається звуження ОДЗ заданої нерівності, то одержана нерівність буде рівносильна заданій (на ОДЗ).

Наслідки з теорем про рівносильність нерівностей

Наслідок: Оскільки функція монотонно зростає,то

.

При піднесенні обох частин до непарного натурального степеня одержуємо нерівність, рівносильне даному.

Наслідок: Оскільки функція монотонно зростає лише при ,то в разі, коли обидві частини нерівності невідємні, при піднесенні обох його частин до парного натурального степеня одержуємо нерінвість, рівносильне даному.

Приклад 1

(обидві частини невідємні!)

Розділ:
Версії іншими мовами:
Поділитися з друзями:
Залишити коментар: